Médio

Determinantes

Ensino Médio: Determinantes
  • Determinante de matriz quadrada
  • Regra prática de Sarrus
  • Propriedades dos determinantes

 

Determinante de uma matriz quadrada

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:

A= a11 a12
a21 a22

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:

det(A) = a11 a22 – a21 a12

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:

A= a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

definimos o determinante de A, como:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
– a11a32a23 – a21a12a33 – a31a22a13

 

Regra prática de Sarrus

Dada a matriz A de ordem 3:

A= a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.

a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.

a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Produto cor amarela +a11a22a33
Produto cor verde +a12a23a31
Produto cor azul +a13a21a32

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.

a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Produto cor rosa -a11a22a33
Produto cor bege -a12a23a31
Produto cor khaki -a13a21a32

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 – a11a32a23 – a21a12a33 – a31a22a13

Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Propriedades dos determinantes

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.

  1. Se In é a matriz identidade, então:

    det(In) = 1

  2. Se N é uma matriz nula, então:

    det(N) = 0

  3. Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:

    det(A) = 0

  4. A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é:

    det(At) = det(A)

  5. Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:

    det(B) = k det(A)

  6. Se B=kA, onde k é um escalar, então:

    det(B) = kn det(A)

  7. Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:

    det(B) = – det(A)

  8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:

    det(A) = 0

  9. Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então:

    det(A) = 0

  10. Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:

    det(A) = 0

  11. Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.
  12. Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.

 

Construída por Ulysses Sodré.

matematicando
Eliane Lima, formada em Matemática pela UFPR
http://gehost.com.br

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