Divisão Proporcional

Ensino Fundamental: Divisão Proporcional
  • 2 partes diret. proporcionais
  • n partes diret. proporcionais
  • 2 partes invers. proporcionais
  • n partes invers. proporcionais
  • 2 partes direta e inversa
  • n partes direta e inversa
  • Regra de Sociedade

 

Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas

A


p

= B


q

A solução segue das propriedades das proporções:

A


p

= B


q

= A+B


p+q

= M


p+q

= K

O valor de K é que proporciona a solução pois:

A = K p  e  B = K q

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:

A


2

= B


3

= A+B


5

= 100


5

= 20

Segue que A=40 e B=60.

Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:

A


8

= B


3

= A-B


5

= 60


5

=12

Segue que A=96 e B=36.

 

Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a p1, p2, …, pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+…+Xn=M e p1+p2+…+pn=P.

X1


p1

= X2


p2

= … = Xn


pn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1


p1

= X2


p2

 =…= Xn


pn

= X1+X2+…+Xn


p1+p2+…+pn

= M


P

= K

Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:

A


2

= B


4

= C


6

= A+B+C


P

= 120


12

=10

logo A=20, B=40 e C=60.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.

A solução segue das propriedades das proporções:

A


2

= B


4

= C


6

= 2A+3B-4C


2×2+3×4-4×6

= 120


-8

= – 15

logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! 🙂

 

Divisão em duas partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:

A


1/p

= B


1/q

= A+B


1/p+1/q

= M


1/p+1/q

= M.p.q


p+q

= K

O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.

Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:

A


1/2

= B


1/3

= A+B


1/2+1/3

= 120


5/6

= 120.2.3


5

= 144

Assim A=72 e B=48.

Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:

A


1/6

= B


1/8

= A-B


1/6-1/8

= 10


1/24

= 240

Assim A=40 e B=30.

 

Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, …, Xn inversamente proporcionais a p1, p2, …, pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, …, 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+…+ Xn=M e além disso

X1


1/p1

= X2


1/p2

= … = Xn


1/pn

cuja solução segue das propriedades das proporções:

X1


1/p1

= X2


1/p2

=…= Xn


1/pn

= X1+X2+…+Xn


1/p1+1/p2+…+1/pn

= M


1/p1+1/p2+…+1/pn

Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:

A


1/2

= B


1/4

= C


1/6

= A+B+C


1/2+1/4+1/6

= 220


11/12

= 240

A solução é A=120, B=60 e C=40.

Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:

A


1/2

= B


1/4

= C


1/6

= 2A+3B-4C


2/2+3/4-4/6

= 10


13/12

= 120


13

logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.

Existem proporções com números fracionários! 🙂

 

Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:

A


c/p

= B


d/q

= A+B


c/p+d/q

= M


c/p+d/q

= M.p.q


c.q+p.d

=K

O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:

A


2/5

= B


3/7

= A+B


2/5+3/7

= 58


29/35

= 70

Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.

Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções:

A


4/6

= B


3/8

= A-B


4/6-3/8

= 21


7/24

= 72

Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.

 

Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a p1, p2, …, pn e inversamente proporcionais a q1, q2, …, qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, …, pn/qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+…+Xn=M e além disso

X1


p1/q1

= X2


p2/q2

=…= Xn


pn/qn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1


p1/q1

= X2


p2/q2

=…= Xn


pn/qn

= X1+X2+…+Xn


p1/q1+p2/q2+…+pn/qn

Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:

A


1/4

= B


2/5

= C


3/6

= A+B+C


1/4+2/5+3/6

= 115


23/20

= 100

logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.

A montagem do problema fica na forma:

A


1/2

= B


10/4

= C


2/5

= 2A+3B-4C


2/2+30/4-8/5

= 10


69/10

= 100


69

A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.

 

Regra de Sociedade

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, …, Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, …, tn.

Definiremos o peso pk (k=1,2,…,n) de cada participante como o produto:

pk = Ck tk

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C1 + C2 + … + Cn

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, …, pn.

Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?

Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:

p1=50×40=2000;  p2=60×30=1800;  p 3=30×40=1200

A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:

A


2000

= B


1800

= C


1200

A solução segue das propriedades das proporções:

A


2000

= B


1800

= C


1200

= A+B+C


5000

= 25000


5000

= 5

A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.

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