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Fundamental Geometria Médio

Número PI(π)

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O número pi foi determinado pela razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro. Por se tratar de um valor constante, sempre igual, o pi passou a ser representado na matemática pelo símbolo π. Para exemplificar, iremos demonstrar em fórmula que a divisão entre o perímetro e o diâmetro de uma roda de carro e de uma moeda são exatamente o mesmo valor: π.

Fórmula

π é um número irracional que, normalmente, arredondamos o valor para três casas, com o valor π=3,14. No entanto, o mistério da matemática que envolve o π, é que não sabemos qual seria a última casa desse número, que pode ser representado com várias casas após a vírgula, mas sempre terminando em reticências:

π= 3,14159265358979323846…

Por isso, usamos sempre a letra grega π, evitando possíveis erros. O   pode ser encontrado por meio da divisão do perímetro pelo diâmetro de uma circunferência, e o perímetro pela multiplicação do diâmetro por π, conforme demonstrado abaixo:

Fórmula

A história do número π

A relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro já era conhecida por diversos povos antigos (como os babilônios e os egípcios), que já sabiam que a razão era maior do que 3. Em placas encontradas dos povos babilônios, havia anotações de uma aproximação grosseira para o valor de π. Eles consideravam a razão como dada pelo número 3 ou por:

Fórmula

Para os egípcios, no entanto, o valor era outro, mais exato, ao qual chegaram por meio da comparação entre a área de um disco circular com o quadrado do seu diâmetro. Se o diâmetro for 2 e a área π, podemos ter o valor de π por meio da regra egípcia:

Fórmula

Os gregos foram os primeiros a mostrar por quais motivos a razão dos círculos de tamanhos distintos é a mesma. Trata-se de uma simples propriedade das figuras semelhantes. Arquimedes foi quem aproximou mais o número π do valor real, aproximando a circunferência por polígonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, determinando uma limitação para π:

Fórmula

ou seja, 3,14085 < π  < 3,142857.

Dessa forma, com o passar dos anos, os valores foram sendo melhorados e aproximados ao real. No entanto, foi a partir do século XX, com uso de computadores e dos algoritmos computacionais que se tornou mais precisa a definição do valor de π.

O cálculo da área de um círculo

O π aparece também na fórmula que determina a área de um círculo, que é constituída pelo fracionamento do círculo em uma infinidade de triângulos isósceles, sendo que dois dos lados do triângulo devem ter a medida do raio.

Área da circunferência

Com dois triângulos desses, formamos um paralelogramo com uma inclinação pequena, que tende ao retângulo.

Triângulos

Com a multiplicação da base pela altura, temos a área de um retângulo e, como cada retângulo é formado por dois triângulos, sendo que sua base é um pedaço do perímetro do círculo, a fragmentação tem que ser imaginada com um número par de triângulos, para que todos se unam em pares para formar retângulos. Une-se, em seguida, todos os retângulos em um retângulo maior cuja base é πR e a altura é R, como demonstrado na imagem abaixo.

Retângulo

O processo de encaixe dos triângulos dois a dois faz com que a base seja a metade do perímetro do círculo. Multiplicando a base pela altura, temos π x R x R, determinando a área desse retângulo, que pode ser representado por:

A = π R²

 

 

10 curiosidades sobre o número PI!

14 de março é comemorado o dia do número PI (π). Sabe por que?

Descubra conosco essa e mais outras curiosidades sobre esse número mágico!

1 – Comemoração do 3/14

14 de março ou 14/3 (“3/14” nos países que usam a notação mês/dia) foi escolhido para celebrar do dia do número PI por causa dos seus 3 primeiros dígitos (3,14). Ele é o resultado da divisão da circunferência de um círculo pelo seu diâmetro. A conta dá sempre a dízima, que começa com 3,1415927 e nunca chega ao fim.

2 – As primeiras 100 casas decimais

As primeiras 100 casas decimais do Pi são: 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899

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3 – Aniversariante ilustre

14 de março, dia do PI, também é o dia do nascimento do físico alemão Albert Einstein!

4 – Conhecido antigo

Na Grécia antiga o símbolo Pi era usado para representar o número 80.

5 – Cadê o Zero?

O zero não aparece nos primeiros 31 dígitos de Pi .

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6 – Ludolph Van Ceulen

Na Holanda, o matemático Ludolph Van Ceulen (1539-1610) determinou as primeiras 20 casas decimais do número PI no livro Van den Circkel em 1596 e, anos mais tarde, expandiu seu conhecimento para 35 casas decimais. O curioso é que em sua lápide foi gravado o número com 35 casas decimais! Até hoje na Alemanha o número é chamado de Número de Ludolph.

Réplica da lápide de Ludolph Van Ceulen

7 – O PI em forma de música:

 

8 – Casas decimais infinitas usadas na computação

Usadas para testes em supercomputadores, já foram descobertas mais de 5 trilhões de casa decimais. Em 2009, por exemplo, pesquisadores da Universidade de Tsukuba, no Japão, calcularam um total de 2.576.980.377.524 casas decimais em 73 horas e 36 minutos, com a ajuda de um computador gigantesco, O T2K Tsukuba System. Ele é um cluster de 640 computadores com uma velocidade de processamento de 95 trilhões de flops.

9 – Curiosidades Rapidinhas

Considerando as primeiras 6.000.000.000 casas decimais do Pi temos que:

  • O algarismo 0 ocorre 599.963.005 vezes;
  • O algarismo 1 ocorre 600.033.260 vezes;
  • O algarismo 2 ocorre 599.999.169 vezes;
  • O algarismo 3 ocorre 600.000.243 vezes;
  • O algarismo 4 ocorre 599.957.439 vezes;
  • O algarismo 5 ocorre 600.017.176 vezes;
  • O algarismo 6 ocorre 600.016.588 vezes;
  • O algarismo 7 ocorre 600.009.044 vezes;
  • O algarismo 8 ocorre 599.987.038 vezes;
  • O algarismo 9 ocorre 600.017.038 vezes.

10 – Mais algumas curiosidades sobre o PI:

 

Matematicando na vida!

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Eliane Lima, formada em Matemática pela UFPR
http://gehost.com.br

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