Financeira

Sistema Alemão de Amortização

Matemática Financeira: Sistema Alemão de Amortização
  • Introdução ao sistema alemão
  • O modelo matemático
  • Fórmulas básicas
  • Problema típico

Introdução ao sistema alemão

O sistema Alemão de amortização consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto a primeira que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. O capital emprestado (ou financiado) será indicado com C, i será a taxa de juros ao período, n representará o número de períodos. As amortizações e os pagamentos ao período serão indicados, respectivamente, pelas letras Ak e Pk, onde k=1,2,…,n. Em todas as situações, o final de um período significará o início do período seguinte.

O Modelo matemático

Consideremos a situação que uma pessoa contrai um empréstimo de valor C no instante k=0. A financeira cobra antecipadamente a taxa i sobre C, perfazendo um juro inicial de C i, de forma que o cliente recebe no primeiro momento, o valor Co dado pela expressão:

Co = C – C i = C (1-i)

mas o cliente deverá pagar C no final do período.

No início do 2o. período, o cliente está devendo C, mas amortizará parte do saldo devedor com um valor A1, assim ele ficará devendo neste momento:

C1 = C – A1

Como ocorre a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida neste momento, correspondentes a i C1, logo o pagamento no início do 2o. período deverá ser:

P1 = A1 + i C1 = A1 + i (C – A1)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C1 no final do período.

No início do 3o. período, o cliente estará devendo C1 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A2, assim ele ficará devendo:

C2 = C1 – A2

Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida que no momento corresponde a i C2, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:

P2 = A2 + i C2 = A2 + i (C1-A2)

ou seja

P2 = A2 + i (C – A1 – A2)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C2 no final do período.

No início do 4o. período, o cliente estará devendo C2 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A3, assim ele ficará devedor neste momento de:

C3 = C2 – A3

Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele deve novamente pagar juros antecipados sobre a dívida neste momento, que corresponde a i C3, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser:

P3 = A3 + i C3 = A3 + i (C2 – A3) = A3 + i (C1 – A2 – A3)

ou seja

P3 = A3 + i (C – A1 – A2 – A3)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C3 no final do período.

Este processo continua até um certo mês com índice k e poderemos escrever:

Ck = Ck-1 – Ak

e

Pk = Ak + i (C – A1 – A2 – A3 – … – Ak)

Resumindo até o momento, temos:

n Cn Pn
1 C1 = C – A1 P1 = A1 + i (C – A1)
2 C2 = C – A1 – A2 P2 = A2 + i (C – A1– A2)
3 C3 = C – A1 – A2 – A3 P3 = A3 + i (C – A1 – A2 – A3)
4 C4 = C – A1 – A2 – A3 – A4 P4 = A4 + i (C – A1 – A2 – A3 – A4)
k Ck = C – A1 – A2 – A3 – … – Ak Pk = Ak + i (C – A1 – A2 – A3 – … – Ak)

A última amortização An deverá coincidir com o pagamento Pn uma vez que todos os juros já foram cobrados antecipadamente e como todos os pagamentos devem ser iguais (exceto Po), então segue que

P1 = P2 = P3 = … = Pn = P

Como P1=P2, então

A1 + i (C – A1) = A2 + i (C – A1 – A2)

logo

A1 + i (C-A1) = A2 + i (C-A1) – i A2

assim

A1 = A2 – i A2

e dessa forma

A1 = A2 (1-i)

e podemos escrever que

A2 = A1 / (1-i)

De forma análoga, podemos mostrar que

A3 = A2 / (1-i)

para concluir que

A3 = A1 / (1-i)2

Temos em geral que, para todo k=2,3,4,…,n:

Ak = A1 / (1-i)k-1

Como a soma das amortizações Ak deve coincidir com o capital C emprestado ou financiado, segue que:

C = A1 + A2 + A3 + … + An

Substituindo os valores dos Ak nesta última expressão, obtemos:

Evidenciando o último termo, poderemos escrever:

Como o termo nos colchetes é a soma de n termos de uma PG cujo primeiro termo é 1 e a razão é (1-i), então:

e desse modo

Já observamos antes que

e substituindo o valor de A1 pela expressão obtida acima, teremos:

Esta é a fórmula para o cálculo da prestação no sistema Alemão, em função do capital financiado C, da taxa i e do período n.

Usamos fortemente o conceito de sequência geométrica (PG), o que justifica a importância deste assunto tão pouco aplicado no âmbito do Ensino Médio.

Fórmulas básicas

Para obter os cálculos com as fórmulas básicas

com os seguintes elementos:

Objeto Descrição
C Capital financiado
i Taxa de juros ao período
n Número de períodos
P Valor de cada prestação
A1 Primeira amortização
Ak Amortização para k=1,2,…,n.

Problema típico

Determinar a prestação mensal de um financiamento de R$300.000,00 por um período de 5 meses à taxa de 4% ao mês, através do sistema Alemão de amortização.

Solução: Devemos tomar i=0,04; n=5 e C=300.000,00 e inserir os dados na primeira das três últimas fórmulas apresentadas, para obter a prestação


matematicando
Eliane Lima, formada em Matemática pela UFPR
http://gehost.com.br

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